s
Доцент Морозов Михаил Владимирович: официальный сайт

Михаил Владимирович Морозов:
персональный сайт

А Г Д К Л М П Р С Т У Х Я

Кристаллография - занятие 5


Да, призма - есть призма,
А куб - это куб,
И им никогда не сойтись,
Покуда они на одном кругу как точки не нанеслись.
Но нету призмы,
И куба - тю-тю
(И кто потом разберет!),
Если я проекцию проверчу
В неправильный разворот.
Джозеф Редьярд Киплинг

Хорошо понимать симметрию кристалла, но этого недостаточно, чтобы понять его форму: ведь форм у кристаллов несчетное множество, а видов симметрии только 32. Значит, нам надо разобраться с тем, как коротко и ясно дать полное описание внешнего облика кристалла.

Коротко, точно и наглядно описать форму кристалла словами нельзя - получится путано и без численных параметров, обычным рисунком нельзя тоже - на нем помимо прочего не видно, что у кристалла "сзади". Единственный способ изобразить взаимоотношение всех граней кристалла (и так, чтобы их численные параметры можно было по изображению высчитать) - это проекция.

Проекция граней кристалла делается точно так же, как географическая проекция Северного и Южного полушарий глобуса (посмотрите в атласе карты Ледовитого океана и Антарктиды). Только, вместо поверхности Земли, у кристалла мы обозначаем лишь точки, которые подразумевают положение его грани в пространстве. Проекция грани кристалла, таким образом, выглядит как точка города на карте - у каждой точки есть широта (отстояние от экватора) и долгота (место у края круглой карты, с которым сближена точка). В отличие от географии, вместо широты для кристалла берется расстояние до точки от полюса - полярное расстояние (в случае "Северного полушария", т.е. верхней половины кристалла, полярное расстояние -  это 90 градусов минус широта), а долгота считается не от Лондонского меридиана в обе стороны (Запад или Восток), а от направления "направо" по часовой стрелке.

Проекции граней кристалла называют гномостереографическими (почему так, скажу позже, пока можете спросить у гномов Горного института), а в географии такую же проекцию называют азимутальной (картинку взял с сайта 3planet.ru, но они ее тоже откуда-то стибрили, а не сами рисовали):

Азимутальная проекция Российской Антарктики

Приемы, с помощью которых подробно описывается построение стереографических проекций рассмотрены в методических указаниях "Геометрическая кристаллография". Ниже даны краткие наглядные пояснения того, как строится проекция грани кристалла.

Два слова о смысле проецирования: когда мы говорим "положение грани в пространстве" мы представляем плоскую поверхность грани, положение которой определяется направлением ее "анфаса", т.е. тем, куда грань развёрнута. Размер кристалла при этом не имеет значения, только форма. К примеру, представим кристалл в форме кубика. Допустим, кристалл рос и увеличился в размере до большого куба, не изменив формы. Проекции граней кристалла "в молодости" и "в старости" будут одинаковыми, так как ориентировка граней не изменилась.

Т.е. положение грани определяется направлением "куда она смотрит". Направление взгляда (указующего луча, идущего от грани к "небу") характеризуется двумя координатами: представьте, что смотрите на звезды, направление взгляда будет находить точку на небесной сфере ("глобусе звездного неба"). У точки на сфере, как мы знаем из географии, две координаты - широта и долгота.

Кристаллографические проекции строятся точно так же:
1) представлем кристалл внутри воображаемой сферы ("глобуса");


2) из центра сферы к каждой грани строим перпендикуляр - это и есть указующий луч, который достигает "небесной сферы" (в кристаллографии она называется сферой проекций) [Примечание к иллюстрации: цвет перпендикуляра соответствует цвету грани на правом рисунке, за исключением черного луча - это перпендикуляр к невидимой большой задней грани кристалла];


3) точка на сфере, в которой наш луч протыкает небесную сферу, однозначно соответствует выбранной грани (это и есть та "точка на небе, куда смотрит грань");


4) координаты точки на сфере определяются угловым расстоянием от зенита сферы (полярное расстояние ρ) и угловым расстоянием от направления "направо" ("восток" для наблюдателя) - долготой φ.



Мы перешли от кристалла к сфере, испещрённой точками, каждая из которых соответствует конкретной грани кристалла. Чтобы построить проекцию на плоскость, мы должны переместить точки со сферы на лист бумаги. Это категорически нельзя делать, просто "роняя" точки на горизонтальную плоскость. Проекция строится так:
1) представим, что наблюдаем сферу проекций изнутри через точечное отверстие в точке надира (т.е. в южном полюсе сферы);
2) мысленно разделим сферу по экватору горизонтальной плоскостью на две половины - круг, описанный экватором на плоскости, будет кругом проекций, его рисуем на чертеже;
3) линия нашего взгляда от надира до точки, которая соответствует выбранной грани, пересечет круг проекций - точка пересечения и будет проекцией выбранной грани. Её обозначаем на чертеже маленьким кружком (верхние грани) или крестиком (нижние грани). На рисунке сферы указанные точки пересечения лучей с экваториальной плоскостью  изображены пунктирными контурами.

Итак, обобщим сказанное.

Если грань "смотрит вниз", т.е. ее точка находится на нижней полусфере, процедуру осуществляем "наоборот" - смотрим на точку грани из зенита (северного полюса сферы). Проекция грани в этом случае обозначается на чертеже крестиком.

Для удобства можно разделить круг проекций диаметрами крест-накрест на 4 сектора. Если грань развёрнута от наблюдателя вправо, ее проекция будет в правой половине. Если грань развёрнута в сторону наблюдателя, проекция будет в передней половине, от наблюдателя - в задней. Горизонтальная верхняя грань попадёт в центр круга (кружок), горизонтальная нижняя - туда же (крестик).

Проекции всех вертикальных граней попадают на внешний круг (экватор сферы). Проекция предней грани кристалла, т.е. той, которая "смотрит" прямо на наблюдателя (будучи расположена вертикально перед ним), попадает таким образом в нижнюю точку круга проекций на чертеже. Заметим, что перпендикуляр к вертикальной грани располагается в плоскости экваториального сечения сферы проекций, значит, точка его пересечения со сферой лежит на экваторе и уже таким образом находится на круге проекций, - переносить её на горизонтальную плоскость незачем, она уже там.

Мы строили проекцию грани, находя пересечение сферы с перпендикуляром к грани (который указывает направление на грань из центра сферы проекций). Проекция такого рода называется гномостереографической (от древнегреческого слова γνώμων - "гномон" - указатель).

Дополнительные примеры расположения проекций граней кристалла:

1. Проекции трех выделенных граней.
2. Проекции всех шести граней данного типа (включая "невидимые" грани на задней и нижней сторонах кристалла).
3. Проекции трех выбранных граней.

4. Проекции всех двенадцати граней данного типа (включая "невидимые" грани на задней и нижней сторонах кристалла).
5. Проекции выделенных граней. При одинаковом наклоне относительно вертикали и одинаковом развороте относительно наблюдателя положения проекций верхней и нижней грани совпадают. Чтобы их различать, верхние грани обозначают кружками, а нижние - крестиками.
6. Проекция выделенных граней. Проекции более пологих граней лежат ближе к центру круга проекций. Проекции более крутых - ближе к краю. Грань, развёрнутая к наблюдателю, лежит ближе к вертикальному диаметру круга.

Полезный ресурс: Заготовки сеток Вульфа, Болдырева и Фёдорова разных диаметров в векторном формате (Я. Кучериненко, МГУ).

Навигация: перейти на страницу кристаллографии.





Опубликовать в своем блоге livejournal.com
Энциклопедия
Найти