s
Доцент Морозов Михаил Владимирович: официальный сайт

Михаил Владимирович Морозов:
персональный сайт

А Г Д К Л М П Р С Т У Х Я

Порядок выполнения работы


Положим перед собой сетку Вульфа так, как это показано на рис. 2. В дальнейшем будем иметь в виду, что никакие построения на самой сетке не производятся - задачи целиком решаются на листке кальки или восковки, наложенном на сетку.

Чтобы иметь возможность всегда приводить кальку относительно сетки в одно и то же исходное положение, отмечаем на кальке центр сетки точкой с четырьмя черточками в виде креста, не доходящими до самой точки. Кроме того, у правого конца горизонтального диаметра сетки ставится небольшая черточка, проведенная вне круга проекций (рис. 3).

Черточка справа будет служить нулевым индексом для долгот 0° φ (полезно надписать это значение), а центральная точка рисунка - местом нуля для полярных расстояний 0° ρ.

Первая сферическая координата - долгота φ - отсчитывается по кругу проекций от нулевого индекса по часовой стрелке (на сетке каждое деление соответствует 2°, каждый десятый градус выделен жирной линией).

Вторая сферическая координата - полярное расстояние ρ - отсчитывается от центра сетки.

Напомним, что в дальнейшем изображенные на сетке дуги меридианов и параллелей будут служить лишь вспомогательными линиями. Истинный полюс сетки находится в ее центре (0° ρ), истинный экватор совпадает с кругом проекций, а из истинных меридианов на сетке изображены только два - вертикальный и горизонтальный диаметры сетки.

При работе с сеткой Вульфа мы должны всегда мысленно представлять себе совмещенную с ней простейшую стереографическую сетку (рис. 1). Само собой разумеется, что отсчет полярных расстояний ρ должен производиться при этом от центра сетки, как от полюса.

Задача 1. Построить стереографическую проекцию направления, заданного сферическими координатами φ и ρ.

Например, пусть некоторое направление А задано сферическими координатами φ=165° и ρ=68°: А (165°, 68°). Требуется найти стереографическую проекцию этого направления.

1. Накладываем кальку на сетку и ставим на ней центральный крестик и черточку нулевого индекса для φ (рис. 3);

Рис. 3.

2. От нулевого индекса для φ по кругу проекций (по часовой стрелке) отсчитываем первую сферическую координату - долготу φ (165°) и отмечаем результат на внешнем круге вспомогательной чертой;

3. Вращением кальки (центр кальки при этом всегда должен совпадать с центром сетки) совмещаем найденную вспомогательную черту с концом ближайшего диаметра сетки;

4. По этому диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной черты отсчитываем вторую сферическую координату - полярное расстояние ρ (68°) - и отмечаем найденную точку небольшим кружком;

5. Возвращаем кальку в исходное положение и надписываем точку а. Точка а является искомой стереографической проекцией направления А.

В кристаллографии эта задача обычно применяется при решении следующих вопросов:

1. Даны сферические координаты нормали к грани кристалла; требуется найти стереографическую проекцию нормали к грани, или, что то же самое, гномостереографическую проекцию самой грани.

2. Даны сферические координаты ребра кристалла или какого-нибудь его характерного направления (например, оси симметрии); требуется построить стереографическую проекцию этого ребра (или направления).

Предлагаем самостоятельно изобразить стереографические проекции следующих направлений: В (309°, 55°), D (51°, 37°), Е (122°, 90°) и Н (205°, 124°)

Задача 2 (обратная). Определить сферические координаты направления, заданного стереографической проекцией.

1. Вращением кальки приводим заданную точку (стереографическую проекцию направления) на ближайший диаметр сетки. По этому диаметру от центра сетки до заданной точки отсчитываем сферическую координату ρ и отмечаем вспомогательной чертой на круге проекций тот конец упомянутого диаметра, в направлении которого лежит наша точка (рис. 3).

2. По кругу проекций отсчитываем сферическую координату φ: от нулевого индекса по часовой стрелке до вспомогательной черточки.

Задача 3. Провести дугу большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений.

Например, провести дугу большого круга через стереографические проекции а и b направлений А (165°, 68°) и В (309°, 55°).

1. Вращением кальки добиваемся того, чтобы обе заданные точки a и b оказались на одной из вспомогательных меридиональных дуг сетки Вульфа.

2. Найденную дугу тщательно обводим карандашом и возвращаем кальку в исходное положение (рис. 4).

Рис. 4.

Если заданные точки изображают гномостереографические проекции граней, то найденная дуга большого круга представляет гномостереографическую проекцию ребра между обеими гранями, (для получения гномостереографической проекции ребра последнее заменяем плоскостью, к нему перпендикулярной, и находим стереографическую проекцию этой плоскости).

Если заданные точки изображают стереографические проекции ребер, то найденная дуга большого круга является стереографической проекцией грани, в плоскости которой лежат упомянутые ребра.

Предлагаем провести на кальке также дуги bd и ad через заданные выше точки.

Задача 4. Измерить угол между двумя направлениями, заданными их стереографическими проекциями (например, угол между направлениями А и В).

1. Как и при решении предыдущей задачи, вращением кальки совмещаем данные точки а и b с одной из меридиональных дуг сетки Вульфа (задача 3).

2. Отсчитываем по этой меридиональной дуге количество градусов, заключенных между точками а и b (рис. 4). В результате получаем ∠AB=113°.

Примечание. Аналогично можно найти, что ∠AD=86°, а ∠BD=70°.

Если заданные точки представляют собой гномостереографические проекции граней, то измеренный угол является углом между нормалями к этим граням.

Если же заданные точки являются стереографическими проекциями ребер, то измеренный угол есть угол между этими ребрами.

Задача 5. Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (под полюсом дуги разумеют точку, равноотстоящую от всех точек дуги на 90°).

Например, требуется найти полюс дуги аb (см. рис. 4).

1. Вращением кальки совмещаем заданную дугу аb с соответствующей меридиональной дугой сетки Вульфа.

2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру сетки от точки пересечения заданной дуги с этим диаметром по направлению к центру сетки 90° (перейдя за него) и отмечаем кружком найденную точку.

3. Возвращаем кальку в исходное положение и надписываем точку - Pab. (Проверьте, измерив углы между любыми точками дуги аb и точкой Pab, что последняя действительно является полюсом этой дуги.)

Найденная точка Pab, как легко проверить, действительно является полюсом дуги аb.

Если точки a и b являются гномостереографическими проекциями граней, дуга - гномостереографическая проекция ребра между ними, а полюс этой дуги - его стереографическая проекция.

Если заданная дуга представляет собой стереографическую проекцию грани, то найденный полюс дуги является стереографической проекцией направления, перпендикулярного к этой грани, или, что то же самое, гномостереографической проекцией самой грани.

Следует подчеркнуть, что, поскольку работа с точками гораздо быстрее и удобнее работы с линиями, чаще всего используют смешанную проекцию: грани кристалла изображают в гномостереографической проекции, ребра и оси зон - в стереографической. Все элементы симметрии принято изображать в стереографической проекции.

Предлагаем найти полюса дуг ab, bd и ad и определить их сферические координаты.

Ответ: Pаb (62°, 61°); Pbd (194°, 59); Pad (269°, 60°).

Задача 6 (обратная). По заданному полюсу найти дугу большого круга, отвечающую его экватору.

1. Вращением кальки приводим заданный полюс на горизонтальный диаметр сетки.

2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру в направлении центра сетки 90° (перейдя за него) и обводим проходящую здесь меридиональную дугу. Эта последняя будет искомой экваториальной дугой относительно заданного полюса.

Если заданный полюс выражает гномостереографическую проекцию грани, то найденная экваториальная дуга соответствует стереографической проекции той же грани.

Если заданный полюс представляет стереографическую проекцию ребра, то найденная дуга отвечает его гномостереографической проекции.

Рекомендуем обратить особое внимание на решение задач 5 и 6, так как именно они содержат механизм переходов от стереографической проекции к гномостереографической и обратно.

Задача 7. Измерить угол между двумя дугами больших кругов.

Например, требуется измерить угол между дугами ab и ad (см. рис. 4).

1. Вращением кальки совмещаем точку пересечения дуг - а (вершину измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки.

2. Приняв эту вершину за полюс, проводим отвечающую ему экваториальную дугу (задача 6).

3. Количество градусов, заключенное в этой дуге между точками пересечения с ней двух заданных дуг, и является величиной искомого угла.

Если заданные дуги больших кругов являются стереографическими проекциями граней, то измеренный угол представляет собой угол между гранями.

На рисунке 4 угол при вершине а равен 65°, при вершине b - 75° и при вершине d - 116°.

Задача 8. Построить геометрическое место точек, образующих с заданной на проекции точкой одно и то же угловое расстояние α (задача на построение малого круга).

Сущность задачи сводится к следующему. Вокруг некоторого направления, стереографическая проекция которого отвечает заданной на проекции точке, имеется множество направлений, отклоненных от первого на один и тот же угол α и образующих в совокупности конус с углом раствора . Пересечение этого конуса с поверхностью сферы дает малый круг, в центре которого находится точка пересечения заданного направления со сферой. Согласно теореме, гласящей, что стереографическая проекция круга является также кругом [2], стереографическая проекция исходного направления является только стереографическим, а не геометрическим центром (геометрический центр совпадает со стереографическим лишь в том частном случае, когда это направление совмещено с осью проекций). Это и составляет основную трудность данной задачи.

Пусть заданная точка лежит внутри круга проекций (например, точка b (309°, 55°) на рис. 5). Требуется построить вокруг нее, как стереографического центра, малый круг заданного радиуса (α=30°).

Рис. 5.

Для этого совмещаем заданную точку с какой-либо параллелью, изображенной на сетке Вульфа, отсчитываем по меридиональной дуге сетки, проходящей через исходную точку, вверх и вниз угловое расстояние α и отмечаем полученные при этом две точки. Вращением кальки приводим заданную точку на какую-либо другую параллель сетки и аналогичным путем получаем пару новых точек. Повторяем такой прием до тех пор, пока полученные точки не начнут совершенно отчетливо обрисовывать окружность. Эта последняя может быть вычерчена с помощью одной из параллелей сетки Вульфа, кривизна которой соответствует искомому кругу. Для этого центр кальки сдвигается с центра сетки, и часть построенных точек совмещается путем наложения с упомянутой параллелью, по которой в несколько приемов вычерчивается, в конце концов, требуемый малый круг.

Решение задачи чрезвычайно упрощается при наличии циркуля.

Поворотом кальки приводим заданную точку на любой диаметр сетки и отсчитываем в обе стороны от нее требуемый угол α. Взяв геометрическую середину найденного отрезка, принимаем ее за центр и вычерчиваем требуемый круг.

В частном случае, когда заданная точка лежит на внешнем круге проекций (ρ=90°), достаточно привести ее поворотом кальки на один из полюсов, изображенных на сетке Вульфа, отсчитать в любую сторону по кругу (или по любой вспомогательной меридиональной дуге сетки) требуемый угол и прочертить соответствующую параллель сетки.

Построение малых кругов широко используется при решении задач, когда по двум заданным точкам и по углам между ними и третьей искомой точкой требуется изобразить эту последнюю (задача 10).

Задача 9. Даны измеренные на гониометре сферические координаты следующих граней кристалла:

Грани

1

2

3

4

5

6

7

8

9

φ, ˚

-

11

101

191

281

56

146

236

326

ρ, ˚

0

42

42

42

42

90

90

90

90

Требуется:
1) изобразить гномостереографические и стереографические проекции всех граней (задачи 1 и 6);
2) измерить углы между гранями (задачи 4 и 7);
3) изобразить гномостереографические и стереографические проекции ребер (задачи 3 и 5);
4) найти сферические координаты ребер и измерить углы между ребрами (задачи 2, 4 и 7).

Задача 10. Построить гномостереографическую проекцию кристалла по углам между нормалями к граням (именно такие углы, как известно, измеряются на однокружном отражательном гониометре. Они же легко находятся и посредством прикладного гониометра).

Даны следующие углы между нормалями к граням (рис. 6):
В : С = 83°;
В : Р = 42°;
Р : С = 72°;
P : Q = 54°;
B' : O
= 58°;
В : В' = 180°;
С : О = 54°.

Рис. 6.

Для проектирования данного кристалла придаем ему такую пространственную ориентировку, при которой грани В, Р, Q и В' становятся вертикальными и изобразятся на внешнем круге проекций. Проекцию одной из этих граней, например грани В, совместим с нулевым индексом для φ.

В соответствии с рисунком кристалла отсчитываем по часовой стрелке углы между нормалями к граням В : Р=42°, Р : Q=54° и В : В'=180°. Найденные на внешнем круге точки и будут проекциями этих вертикальных граней.

Далее по углам В : С=83° и Р : С=72° находим точку С. Для этого приводим сперва точку В в один из полюсов сетки Вульфа, отсчитываем по кругу проекций в любую сторону 83° и прочерчиваем соответствующую параллель сетки. Затем совмещаем с полюсом сетки точку Р, отсчитываем 72° и снова прочерчиваем параллель сетки. На пересечении двух полученных параллелей и находится проекция грани С (задача 8).

Для нахождения проекции грани О совмещаем точку В' с одним из изображенных полюсов сетки, отсчитываем 58° и рисуем параллель. Далее принимаем за стереографический центр точку С и строим малый круг радиусом в 54° (задача 8). Этот круг пересекает параллель, вычерченную вокруг В', в двух точках. В соответствии с рисунком, принимаем за проекцию грани О ту из них, которая отвечает расположению грани на рисунке.

В заключение предлагаем решить дополнительно следующие вопросы:
1. Определить сферические координаты граней В, Р, Q, В', С, О (задача 2).
2. Измерить угол между нормалями к граням B и О' (задача 4).
3. Найти стереографические проекции ребер СВ и СР и определить их сферические координаты (задачи 3, 5, 2).

Ответ:
1. B (0°, 90°); P (42°, 90°); Q (96°, 90°); B' (180°, 90°); C (72°, 90°); O (210°, 38°).
2. Угол BO' = 58°.
3. CB (270°, 70°); CP (314°, 78°).

4. Построить стереографическую проекцию грани О (задача 6).

Здесь приведено лишь несколько простых задач, наиболее часто встречающихся при работе с сеткой Вульфа. Читателя, желающего подробно ознакомиться с этим разделом, отсылаем к имеющимся специальным курсам [3].

Предыдущая глава - Содержание - Следующая глава

А.И.Глазов, М.В.Морозов.
Геометрическая кристаллография.
Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Кристаллография» для студентов специальностей 080600 и 080100.
Санкт-Петербург
2001



Error. Page cannot be displayed. Please contact your service provider for more details. (6)






Энциклопедия
Найти